biết F(x) là một nguyên hàm của f(x)=$\frac{1}{sin^2.cos^2x}$ và $ F$ ($\frac{\pi}{4}$) $=1$ . phương trình $F(x) -1 =0 $ có bao nhiêu nghiệm thuộc (0;2020)?

Đáp án:

$1286$ nghiệm

Giải thích các bước giải:

$\quad F(x)= \displaystyle\int f(x)dx$

$\to F(x)= \displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}dx$

$\to F(x)=\displaystyle\int\dfrac{4}{\sin^22x}dx$

$\to F(x)=2\displaystyle\int\dfrac{2dx}{\sin^22x}$

$\to F(x)= 2\displaystyle\int\dfrac{d(2x)}{\sin^22x}$

$\to F(x)= -2\cot2x + C$

Ta lại có:

$\quad F\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$

$\to -2\cot\dfrac{\pi}{2} + C = 1$

$\to C = 1$

Do đó:

$F(x)= -2\cot2x +1$

Ta có:

$\quad F(x)-1=0$

$\to -2\cot2x = 0$

$\to \cot2x = 0$

$\to 2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

$\to x =\dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}\quad (k\in\Bbb Z)$

Mặt khác: $0< x < 2020$

$\to 0 <\dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}< 2020$

$\to -\dfrac12 < k < \dfrac{4040}{\pi} - \dfrac12$

$\to k\in\underbrace{\{0;1;2;\dots;1284;1285\}}_{\text{1286 giá trị k}}$

$\to 1286$ nghiệm