Biết ab+bc+ca = 0 và abc khác 0 . Tính giá trị của biểu thức : A = bc/a^2 + ca/b^2 + ab/c^2

Đáp án: $A=0$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$ab+bc+ca=0$

$\to \dfrac{ab+bc+ca}{abc}=0$

$\to \dfrac1c+\dfrac1a+\dfrac1b=0$

$\to \dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=0$

Lại có:

$x^3+y^3+z^3-3xyz$
$=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz$

$=(x+y)^3+z^2-3xy(x+y)-3xyz$

$=(x+y+z)((x+y)^2-(x+y)z+z^2)-3xy(x+y+z)$

$=(x+y+z)((x+y)^2-(x+y)z+z^2-3xy)$

$=(x+y+z)((x+y)^2-(x+y)z+z^2-3xy)$

$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

$\to$Áp dụng với $x=\dfrac1a, y=\dfrac1b, z=\dfrac1c$ và $x+y+z=\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=0$

$\to (\dfrac1a)^3+(\dfrac1b)^3+(\dfrac1c)^3=0\cdot (x^2+y^2+z^2-xy-zx-zx)=0$

$\to\dfrac1{a^3}+\dfrac1{b^3}+\dfrac1{c^3}=0$

$\to abc(\dfrac1{a^3}+\dfrac1{b^3}+\dfrac1{c^3})=0$

$\to \dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}=0$

$\to A=0$