Biết $\int\limits^3_1 {\frac{dx}{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}}} $ =$a\sqrt{3} +b\sqrt{2} +c$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Tính $P=a+b+c$.

Đáp án:

$P = \dfrac{16}{3}$

Giải thích các bước giải:

$\quad I = \displaystyle\int\limits_1^3\dfrac{dx}{\sqrt{x+1} -\sqrt x}$

$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_1^3\dfrac{\sqrt{x+1} + \sqrt x}{\left(\sqrt{x+1} - \sqrt x\right)\left(\sqrt{x+1} + \sqrt x\right)}dx$

$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_1^3\left(\sqrt{x+1} +\sqrt x\right)dx$

$\Leftrightarrow I = \left(\dfrac23\sqrt{(x+1)^3} + \dfrac23\sqrt{x^3}\right)\Bigg|_1^3$

$\Leftrightarrow I = 2\sqrt3 - \dfrac43\sqrt2 + \dfrac{14}{3}$

$\Rightarrow \begin{cases}a = 2\\b = -\dfrac43\\c = \dfrac{14}{3}\end{cases}$

$\Rightarrow a + b + c = 2 - \dfrac43 +\dfrac{14}{3}$

$\Rightarrow P = \dfrac{16}{3}$