Biết $\int\limits^1_0 {\frac{3x-1}{x^{2}+6x+9 } } \, dx=3ln\frac{a}{b} -\frac{5}{6}$ trong đó $a,b$ là hai số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản . Giá trị $T=ab$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

$T = 12$

Giải thích các bước giải:

$\quad I = \displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{3x-1}{x^2 + 6x + 9}dx$

$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^1\left[\dfrac{3(2x+6)}{2(x^2 + 6x + 9)} - \dfrac{10}{x^2 + 6x + 9}\right]dx$

$\Leftrightarrow I = \dfrac32\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{2x + 6}{x^2 + 6x + 9}dx - 10\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{1}{x^2 + 6x+ 9}dx$

$\Leftrightarrow I = \dfrac32\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{d(x^2 + 6x + 9)}{x^2 + 6x + 9}- 10\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{d(x+3)}{(x+3)^2}$

$\Leftrightarrow I = \dfrac32\ln(x^2 + 6x + 9)\Bigg|_0^1 + 10\cdot\dfrac{1}{x+3}\Bigg|_0^1$

$\Leftrightarrow I = 3\ln(x+3)\Bigg|_0^1 + 10\cdot\dfrac{1}{x+3}\Bigg|_0^1$

$\Leftrightarrow I = 3(\ln4 - \ln3) + 10\left(\dfrac14 - \dfrac13\right)$

$\Leftrightarrow I = 3\ln\dfrac43 - \dfrac56$

$\Rightarrow \begin{cases}a = 4\\b = 3\end{cases}$

$\Rightarrow ab = 4.3$

$\Rightarrow T = 12$