Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: |$x^{3}-3x$|$+m=0$
1 câu trả lời
$\quad |x^3 - 3x| + m = 0$
$\Leftrightarrow |x^3 - 3x| = - m$
Đặt $y = f(x) = x^3 - 3x$
Phương trình trở thành:
$\quad |f(x)| = - m\qquad (*)$
$(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng $y = -m$ và đồ thị $y = |f(x)|$
Số nghiệm của $(*)$ đúng bằng số giao điểm giữa hai đồ thị
Ta có:
$\bullet\quad f'(x) = 3x^2 - 3$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -1\Rightarrow f(-1) = 2\\x = 1\Rightarrow f(1) = -2\end{array}\right.$
$\bullet\quad f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\sqrt3\\x = 0\\x = \sqrt3\end{array}\right.$
Ta được bảng biến thiên: (Hình bên dưới)
Dựa vào bảng biến thiên, ta được:
$\begin{cases}\max|f(x)| = 2\\\min|f(x)| = 0\end{cases}$
Khi đó:
$\circledast\quad -m > 2 \Leftrightarrow m < -2$
$y = -m$ cắt $y = |f(x)|$ tại `2` điểm
$\Leftrightarrow (*)$ có `2` nghiệm
$\circledast\quad -m = 2\Leftrightarrow m= - 2$
$y = -m$ cắt $y = |f(x)|$ tại `4` điểm
$\Leftrightarrow (*)$ có `4` nghiệm
$\circledast\quad 0 <-m < 2\Leftrightarrow - 2< m < 0$
$y = -m$ cắt $y = |f(x)|$ tại `6` điểm
$\Leftrightarrow (*)$ có `6` nghiệm
$\circledast\quad -m = 0\Leftrightarrow m= 0$
$y = -m$ cắt $y = |f(x)|$ tại `3` điểm
$\Leftrightarrow (*)$ có `3` nghiệm
$\circledast\quad -m < 0\Leftrightarrow m>0$
$y = -m$ không cắt $y = |f(x)|$
$\Leftrightarrow (*)$ vô nghiệm