Bài toán 3. Tìm x; y biết: a. . 25 – y2 = 8( x – 2009) b. x3 y = x y3 + 1997 c. x + y + 9 = xy – 7. Bài toán 4. Cho n số x1, x2, ..., xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0 thì n chia hết cho 4.

BÀI 3:

a) 25 - y^2 = 8(x-2009)^2

Vì vế phải luôn dương

⇒ vế trái cũng dương

Nghĩa là 25-y^2 > 0

Mặt khác do:

8(x-2009)^2 chia hết cho 2. Như vậy vế phải luôn chẵn

Do đó y^2 phải lẻ. (hiệu hai số lẻ là 1 số chẵn)

Do vậy chỉ tồn tại các giá trị sau:

y^2 = 1, y^2 = 9, y^2 = 25

y^2 = 1; (x-2009)^2 = 3 (loại)

y^2 = 9; (x-2009)^2 = 2 (loại)

y^2 = 25; (x-2009)^2 = 0; x = 2009

Vậy pt có nghiệm nguyên (2009 , -5) ; (2009 , 5)

c) x+y + 9 = xy - 7

⇒ x+y+16 = xy

⇒ x+16 = xy-y = y(x-1)

⇒ y =x+16/x−1 (x khác 1)

mà y ∈ Z nên x+16/x−1 ∈ Z

x+16/x−1 = (x−1)+17/x−1

⇒x-1 ∈ Ư(17) = {±1; ±17}

⇒x ∈ {0;2;-16;18} (tmđk x khác 1)

nếu x=0 ⇒ 16+y=0 ⇒ y=-16

nếu x=2 ⇒ 2+y=0 ⇒ y=-2

nếu x=-16 ⇒ y=-16y ⇒ y=0

nếu x=18 ⇒ y=2

Vậy x,y=.....

BÀI 4:

Theo giả thiết suy ra các tích x1x2 , x2x3 , ...., xnx1 chỉ nhận một trong hai giá trị là 1 và -1

Do đó x1x2 + x2x3 +...+ xnx1 = 0

<=> n = 2m

=> Đồng thời có m số hạng bằng 1 và m số hạng bằng -1

Nhận thấy : (x1x2)(x2x3)...(xnx1) = x12x22...xn2 = 1

=> Số các số hạng bằng -1 phải là số chẵn

=> m = 2k

=> n = 2m = 2.2k = 4k

=> n chia hết cho 4 (đpcm).