Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y= x⁶ - 3x⁴ + 9/4xᒾ + 1/4 trên đoạn [-1;1]

Đáp án:

$Max= \dfrac{3}{4}$
$min = \dfrac{1}{4}$

Giải thích các bước giải:

 $y=x^6-3x^4+\dfrac{9}{4}x^2+\dfrac{1}{4}$

$y'=6x^5-12x^3+\dfrac{9}{2}x$

Giải phương trình $y'=0$

$\to x(6x^4-12x^3+\dfrac{9}{2})=0$

$\to \left[ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l}x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\  \left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\\x=-\dfrac{\sqrt{6}}{2} \end{array} \right.\end{array} \right. \end{array} \right.$

Thay : 

$f(-1)= \dfrac{1}{2}$

$f(1)=\dfrac{1}{2}$

$f(0)= \dfrac{1}{4}$

$f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})= \dfrac{3}{4}$

$f(-\dfrac{\sqrt{2}}{2})= \dfrac{3}{4}$

$f(\pm \dfrac{\sqrt{6}}{2})=  \dfrac{1}{4}$

Vậy $Max= \dfrac{3}{4}$

        $min = \dfrac{1}{4}$

Đáp án:

$\mathop{\max}\limits_{[-1;1]}f(x) = \dfrac34\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\sqrt2}{2}$

$\mathop{\min}\limits_{[-1;1]}f(x) =\dfrac14\Leftrightarrow x = 0$

Giải thích các bước giải:

$\quad y = f(x) =x^6 - 3x^4 + \dfrac{9}{4}x^2 + \dfrac14$

Đặt $t = x^2\quad (t\geqslant 0)$

$x \in [-1;1] \Rightarrow t \in [0;1]$

Ta được:

$\quad y = f(t) = t^3 - 3t^2 + \dfrac{9}{4}t + \dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow y' = f'(t) = 3t^2 - 6t + \dfrac{9}{4}$

$f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t = \dfrac{1}{2}\\t = \dfrac{3}{2}\end{array}\right.$

Bảng xét dấu:

\(\begin{array}{c|ccc}
t&0&&\dfrac12&&1&&\dfrac32&&+\infty\\\hline
f'(t)&\vert&+&0&-&\vert&-&0&+&
\end{array}\)

Dựa vào bảng xét dấu ta được:

$\mathop{\max}\limits_{[0;1]}f(t) = f\left(\dfrac12\right) = \dfrac{3}{4}$

Ta lại có:

$f(0) = \dfrac14;\quad f(1) = \dfrac12$

$\Rightarrow \mathop{\min}\limits_{[0;1]}f(t) = f(0) = \dfrac14$

Do đó:

$\mathop{\max}\limits_{[-1;1]}f(x) = \dfrac34\Leftrightarrow t = \dfrac12 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\sqrt2}{2}$

$\mathop{\min}\limits_{[-1;1]}f(x) =\dfrac14 \Leftrightarrow t  = 0\Leftrightarrow x = 0$