Bài 1. Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đ­ược 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai tổ I v­ượt mức 15% và tổ II vư­ợt mức 10% so với tháng thứ nhất, nên hai tổ sản xuất đư­ợc 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đ­ược bao nhiêu chi tiết máy? Bài 2. Trên quãng đường AB dài 200 km có hai ô tô chuyển động ngược chiều: xe thứ nhất đi từ A đến B, xe thứ hai đi từ B đến A. Nếu cùng khởi hành thì sau 2 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe kia 2,5 giờ thì hai xe gặp nhau khi xe thứ hai đi được 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe. Bài 3. Để hoàn thành một công viêc, hai tổ làm chung và dự kiến hoàn thành sau 6 giờ. Trên thực tế, sau 2 giờ hai tổ làm chung, tổ II bị điều đi làm việc khác, tổ I hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

Bài 1/

Gọi số chi tiết máy tháng thứ nhất sản xuất được của tổ I và tổ II là $x,y$ ($x,y∈\Bbb N^*$; chi tiết)

Do tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được $900$ chi tiết máy nên ta có phương trình:

\[x+y=900(1)\]

Số chi tiết máy tháng thứ hai tổ I làm được là $(100\%+15\%)x=1,15x$ (chi tiết)

Số chi tiết máy tháng thứ hai tổ II làm được là $(100\%+10\%)y=1,1y$ (chi tiết)

Do tháng thứ hai hai tổ sản xuất được $1010$ chi tiết máy nên ta có phơng trình:

\[1,15x+1,1y=1010(2)\]

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\begin{cases}x+y=900\\1,15x+1,1y=1010\end{cases}$

$↔\begin{cases}1,15x+1,15y=1035\\1,15x+1,1y=1010\end{cases}\\↔\begin{cases}0,05y=25\\x+y=900\end{cases}\\↔\begin{cases}y=500\\x+500=900\end{cases}\\↔\begin{cases}y=500(TM)\\x=400(TM)\end{cases}$

Vậy trong tháng thứ nhất, tổ I sản xuất được $400$ chi tiết máy và tổ II sản xuất được $500$ chi tiết máy

Bài 2/

Gọi vận tốc xe thứ nhất, vận tốc xe thứ hai là $x,y$ ($x,y>0;km/h$)

Quãng đường xe thứ nhất đi được trong $2h$ là $2x(km)$

Quãng đường xe thứ hai đi được trong $2h$ là $2y(km)$

Do 2 xe chuyển động ngược chiều nhau và gặp nhau sau $2h$ nên ta có phương trình:

\[2x+2y=200(1)\]

Thời gian xe thứ nhất đi được là $2,5h+1h=3,5h$

Thời gian xe thứ hai đi được là $1h$

Quãng đường xe thứ nhất đi được trong $3,5h$ là $3,5x(km)$

Quãng đường xe thứ hai đi được trong $1h$ là $y(km)$

Do xe thứ nhất khởi hành trước xe kia $2,5h$ thì 2 xe gặp nhau sau khi xe thứ hai đi được $1h$ nên ta có phương trình:

\[3,5x+y=200(2)\]

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\begin{cases}2x+2y=200\\3,5x+y=200\end{cases}$

$↔\begin{cases}x+y=100\\3,5x+y=200\end{cases}\\↔\begin{cases}2,5x=100\\x+y=100\end{cases}\\↔\begin{cases}x=40\\40+y=100\end{cases}\\↔\begin{cases}x=40(TM)\\y=60(TM)\end{cases}$

Vậy vận tốc xe thứ nhất là $40km/h$, vận tốc xe thứ hai là $60km/h$

Bài 3/ 

Gọi thời gian hoàn thành công việc một mình của tổ I, tổ II là $x,y$ ($x,y>0;h$)

Mỗi giờ tổ I làm được $\dfrac{1}{x}$ (công việc)

Mỗi giờ tổ II làm được $\dfrac{1}{y}$ (công việc)

Do 2 tổ làm chung thì hoàn thành sau 6h vì vậy mỗi giờ hai tổ làm được $\dfrac{1}{6}$ công việc nên ta có phương trình:

\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}(1)\]

Thời gian tổ I làm thực tế là $2+10=12h$

Thời gian tổ II làm thực tế là $2h$

Thực tế mỗi giờ tổ I làm được $\dfrac{12}{x}$ (công việc)

Thực tế mỗi giờ tổ II làm được $\dfrac{2}{y}$ (công việc)

Do sau 2h hai tổ làm chung, tổ II bị điều đi làm việc khác, tổ I hoàn thành nốt công việc trong 10h nên ta có phương trình:

\[\dfrac{12}{x}+\dfrac{2}{y}=1(2)\]

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{12}{x}+\dfrac{2}{y}=1\end{cases}$

$↔\begin{cases}\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{12}{x}+\dfrac{2}{y}=1\end{cases}\\↔\begin{cases}\dfrac{10}{x}=\dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\end{cases}\\↔\begin{cases}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{15}\\\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\end{cases}\\↔\begin{cases}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{15}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10}\end{cases}\\→\begin{cases}x=15(TM)\\y=10(TM)\end{cases}$

Vậy nếu làm một mình thì tổ I sẽ hoàn thành công việc sau $15h$; tổ II hoàn thành sau $10h$