B1:y=2x+m cắt y=$\frac{x+3}{x+1}$ tại M,N .Tìm m để MN min B2: y= $\frac{x-1}{x+2}$ cắt y=2x+m tại 2 điểm phân biệt

Đáp án: 

Bài 1: `MN_{min} <=> m =3`

Bài 2:  `m > 5+2\sqrt{6}, m< 5-2\sqrt{6}` 

Giải thích các bước giải:

 Bài 1:

Gọi `(d): y=2x +m, (C): y= (x+3)/(x+1)`

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(C)` có:

     `2x +m = (x+3)/(x+1)`

`<=> 2x² +2x +mx +m =x+3`

`<=> 2x² +x +mx +m -3=0`

`<=> 2x² +(1+m)x +m-3=0 \ (**)`

`∆_{**} = (1+m)^2 -4.2(m-3)`

`= 1 +2m +m² -8m +24`

`= m² -6m +9 +16`

`= (m-3)^2 +16 >0 ∀m`

Vậy ` ∀m => (**)` luôn có 2 nghiệm phân biệt `M,N`

Gọi `M(x_M; 2x_M +m); N(x_N;2x_N+m)` là giao điểm của `(d)` và `(C)`

`=> MN^2 = (x_N -x_M)^2 + ( 2x_N +m - 2x_M -m)^2`

`=> MN^2 = (x_N -x_M)^2 +( 2x_N -2x_M)^2`

`= (x_N - x_M)^2 +4(x_N+ x_M)^2`

`= 5(x_N -x_M)^2`

`= 5[(x_N + x_M)^2 -4x_Nx_M]`

`=5.[ (-((1+m)/2)^2 - 4. (m-3)/2]`

`= 5. [(m² +2m +1)/4 - 2(m-3)]`

`= 5( (m² +2m +1 -8m +24)/4)`

`= 5/4 . (m²-6m +25)`

`= 5/4 . (m² -6m +9 +16)`

`= 5/4 . [ (m-3)^2 +16]`

`= 5/4 . (m-3)^2 + 5/4 . 16`

`= 5/4 . (m-3)^2 +20 ≥ 20 ∀m`

Dấu "=" xảy ra `<=> m-3 =0 <=> m=3`

Vậy `MN_{min} <=> m=3`

Bài 2:

Gọi `(d): y=2x +m, (C): y= (x-1)/(x+2)`

Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(C)` có:

        `2x +m = (x-1)/(x+2)`

`<=> 2x² +4x +mx +2m = x-1`

`<=> 2x² +3x +mx +2m +1=0`

`<=> 2x² + (3+m)x +2m +1=0 \ (***)`

`∆_{***} = (3+m)^2 -4.2.(2m+1)`

`= 9 +6m +m² -16m -8`

`= m² -10m +1`

`(d)` cắt `(C)` tại 2 điểm phân biệt `<=> ∆_{***} >0`

`<=> m² -10m +1>0`

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m> 5 +2\sqrt{6}\\m < 5-2\sqrt{6}\end{array} \right.\) 

Vậy `m > 5+2\sqrt{6}, m< 5-2\sqrt{6}` thì `(d)` cắt `(C)` tại 2 điểm phân biệt.