a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x3+3x2-4 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn. c) Chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.

Đáp án:tham khảo nhé bn

Lời giải:

a) TXĐ: R

y'>0 trên khoảng (-∞; -2)và (0; +∞)

y'<0 trên khoảng (-2; 0)

+ y_CĐ = y(-2) = 0; y_CT = y(0) = -4

+ lim_x→-∞⁡y = -∞; lim_x→+∞ y = +∞

+ y'' = 6x+6 = 6(x+1) = 0 ⇔ x = -1

Bảng xét dấu y’’

X-∞-1+∞Y’’-0+Đồ thịLồiđiểm uốn U(-1; -2)lõm

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; -1)

Hàm số lõm trên khoảng (-1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn U(-1; -2)

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Đi qua điểm (1; 0) và (-3; -4)

b) Hàm số y = x³+3x²-4 có điểm uốn U(-1; -2)

Ta có: y' = 3x² + 6x; y’(-1) = -3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn U(-1; -2) có dạng

y-y₀=y'(x₀)(x-x₀)

⇔ y+2=-3(x+1)

⇔ y=-3x-5

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: y = -3x - 5.

c) Cách 1. Đồ thị nhận U(-1; -2) là tâm đối xứng khi và chỉ khi:

f(x₀+x)+f(x₀-x)=2y₀ với ∀x

⇔ f(x-1)+f(-x-1)=-4 ∀x

⇔ (x-1)³+3(x-1)²-4+(-1-x)³+3(-1-x)²-4 =-4 ∀x

⇔ x³-3x²+3x-1+3x²-6x+3-4-1-3x-3x²-x³+3+6x+3x²-4=-4 ∀x

⇔ -4 = - 4 ∀ x

⇒ I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị.

Cách 2. Gọi U(-1; -2) là tọa độ điểm uốn, tịnh tiến OU giữa các tọa độ cũ.

Theo công thức đổi trục tọa độ

Phương trình trở thành Y = X³-3X đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng ⇒ điều phải chứng minh. 

Giải thích các bước giải: