a đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là (1;1;1);(2;3;4);(6;5;2). Diện tích hình bình hành đó bằng: (A) 283−−√ (B) 83−−√ (C) 83 (D) 83√2

Đáp án:

$A.\ 2\sqrt{83}$

Giải thích các bước giải:

Đặt $A(1;1;1);\ B(2;3;4);\ C(6;5;2)$ lần lượt là ba đỉnh của một hình bình hành

Ta có: $\overrightarrow{BC} = (4;2;-2)$

$\Rightarrow BC: \begin{cases}x = 2 + 4t\\y = 3 + 2t\\z = 4 - 2t\end{cases}\quad (t\in\Bbb R)$

Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc $BC$

$\Rightarrow (P)$ nhận $\overrightarrow{BC} = (4;2;-2)$ làm $VTPT$

Phương trình mp $(P)$ có dạng:

$\quad 4(x-1) + 2(y-1) - 2(z-1) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + y - z -2 =0$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$

$\Rightarrow H = BC\cap (P)$

Tọa độ $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{cases}x = 2 + 4t\\y = 3 + 2t\\z = 4 - 2t\\2x + y - z - 2 =0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x = \dfrac53\\y =\dfrac{17}{6}\\z = \dfrac{25}{6} \end{cases}$

$\Rightarrow H\left(\dfrac53;\dfrac{17}{6};\dfrac{25}{6}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AH} = \left(\dfrac23;\dfrac{11}{6};\dfrac{19}{6}\right)$

$\Rightarrow AH = \dfrac{\sqrt{498}}{6}$

Khi đó:

$S = AH.BC =\dfrac{\sqrt{498}}{6}\cdot 2\sqrt6 = 2\sqrt{83}$