a,b khác 0 thỏa mãn `ab(a+b)=(a-b)^2+ab` tìm `MaxP=1/a^3+1/b^3+2`

Đáp án: $ MaxP = 18 <=> a = b = \dfrac{1}{2}$

Giải thích các bước giải:

$ab(a + b) = (a - b)^{2} + ab $

$ <=> ab(a + b) = a^{2} - ab + b^{2} >= 0 (*)$

$ <=> ab(a + b)^{2} = a^{3} + b^{3}$( Do $ a + b \neq 0$)

 vì nếu $ a + b = 0 ; (*) => a = - b = 0$ trái GT 

Đặt $ : x = \dfrac{1}{a}; y = \dfrac{1}{b}$ thì:

$ P = \dfrac{a^{3} + b^{3}}{a^{3}b^{3}} + 2 = \dfrac{(a + b)^{2}}{a^{2}b^{2}} + 2 = x^{2} + 2xy + y^{2} + 2 (1)$

Mặt khác $: (*) <=> ab(a + b + 3) = (a + b)^{2}$

$ P = \dfrac{a + b + 3}{ab} + 2 = x + y + 3xy + 2 (2)$

Lấy $ 8.(2) - 7.(1) $ ta có:

$ 8P - 7P = 2 + 8x + 8y - 7x^{2} + 10xy - 7y^{2} $

$ <=> P = 18 - 5(x - y)^{2} - 2(x - 2)^{2} - 2(y - 2)^{2} =< 18$

Vậy :

$MaxP = 18 <=> x = y = 2 <=> a = b = \dfrac{1}{2} (TM (*))$