A(2,5,-3) và B(3,-7,4) tìm M thuộc Oxy sao cho MA+MB ngắn nhất (mới học được 2 buổi đầu hình học không gian lớp 12 ) cần vận dụng kiến thức 11

Đáp án:

\[M\left( {\frac{5}{2}; - 1;0} \right)\]

Giải thích các bước giải:

 Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \\
{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{5}{2}\\
{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} =  - 1\\
{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2};\,\, - 1;\,\,\frac{1}{2}} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {MA + MB} \right)^2} = M{A^2} + 2MA.MB + M{B^2}\\
 = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2.\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\
 = M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2} + 2M{I^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + 2.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB}  + M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}\\
 = 4M{I^2} + 3.\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + I{A^2} + I{B^2} + 2.\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} \\
 = 4M{I^2} + 3.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow 0  + I{A^2} + I{B^2} + 2.\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} \\
 = 4M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + 2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} 
\end{array}\)

Do I, A, B không đổi nên MA+MB ngắn nhất khi MI ngắn nhất.

Do đó, M là hình chiếu vuông góc của I trên mp Oxy

Suy ra \(M\left( {\frac{5}{2}; - 1;0} \right)\)

Đáp án:

M(52;−1;0)M(52;−1;0)

Giải thích các bước giải:

 Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩−→IA+−→IB=→0xI=xA+xB2=52yI=yA+yB2=−1zI=zA+zB2=12⇒I(52;−1;12){IA→+IB→=0→xI=xA+xB2=52yI=yA+yB2=−1zI=zA+zB2=12⇒I(52;−1;12)

Ta có:

(MA+MB)2=MA2+2MA.MB+MB2=(−−→MI+−→IA)2+2.(−−→MI+−→IA).(−−→MI+−→IB)+(−−→MI+−→IB)2=MI2+2−−→MI.−→IA+IA2+2MI2+2.−−→MI.−→IB+2.−−→MI.−→IA+2−→IA.−→IB+MI2+2−−→MI.−→IB+IB2=4MI2+3.−−→MI(−→IA+−→IB)+IA2+IB2+2.−→IA.−→IB=4MI2+3.−−→MI.→0+IA2+IB2+2.−→IA.−→IB=4MI2+IA2+IB2+2−→IA.−→IB(MA+MB)2=MA2+2MA.MB+MB2=(MI→+IA→)2+2.(MI→+IA→).(MI→+IB→)+(MI→+IB→)2=MI2+2MI→.IA→+IA2+2MI2+2.MI→.IB→+2.MI→.IA→+2IA→.IB→+MI2+2MI→.IB→+IB2=4MI2+3.MI→(IA→+IB→)+IA2+IB2+2.IA→.IB→=4MI2+3.MI→.0→+IA2+IB2+2.IA→.IB→=4MI2+IA2+IB2+2IA→.IB→

Do I, A, B không đổi nên MA+MB ngắn nhất khi MI ngắn nhất.

Do đó, M là hình chiếu vuông góc của I trên mp Oxy

Suy ra M(52;−1;0)