43) cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi H là trung điểm AB, SH vuông vs mp (ABCD) biết Sh = (a√3)/2 khoảng cách từ C đến mp (SAD) là.

Đáp án:

$d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ 

Giải thích các bước giải:

Ta có:

${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$

Lại có:

$d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{SAD}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{SAD}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}}}{{{S_{SAD}}}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{4{S_{SAD}}}}(1)$ 

Xét các tam giác:

$\begin{array}{l}
\Delta SHA,\widehat H = {90^0} \Rightarrow SA = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {S{H^2} + {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}}  = a\\
\Delta SHD,\widehat H = {90^0} \Rightarrow SD = \sqrt {S{H^2} + H{D^2}}  = \sqrt {S{H^2} + A{H^2} + A{D^2}}  = a\sqrt 2 \\
\Delta SAD;SA = AD = a;AD = a\sqrt 2  \Rightarrow \Delta SAD \text{vuông cân ở A}
\end{array}$

Khi đó: ${S_{SAD}} = \dfrac{1}{2}SA.AD = \dfrac{{{a^2}}}{2}$

Thay vào $(1)$ ta có:

$d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{4{S_{SAD}}}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{4.\dfrac{{{a^2}}}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Vậy $d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$