40 điểm $\text{Tìm x ∈ R để P có giá trị nguyên}$ $\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}$

Đáp án+Giải thích các bước giải:

ta có : `P=(\sqrt(x)+5)/(\sqrt(x)+1) in ZZ` `Đk:x >= 0`

`=>P=(\sqrt(x)+5)/(\sqrt(x)+1)=(\sqrt(x)+1+4)/(\sqrt(x)+1)=1+4/(\sqrt(x)+1)`

ta lại có :

`\sqrt(x)+1>=1` với mọi `x`

`=>4/(\sqrt(x)+1)>=4` với mọi `x`

`=>1+4/(\sqrt(x)+1)>=5` với mọi `x`

lại có : `P>0` với mọi `x`

`=>0<p<=5`

`=>P={1;2;3;4;5}`

khi `P=1` thì : `(\sqrt(x)+5)/(\sqrt(x)+1)=1`

`=>\sqrt(x)+5=\sqrt(x)+1`

`=>\sqrt(x)+5-\sqrt(x)-1=0`

`=>4=0` ( loại )

khi `P=2` thì : `(\sqrt(x)+5)/(\sqrt(x)+1)=2`

`=>\sqrt(x)+5=2\sqrt(x)+2`

`=>\sqrt(x)+5-2\sqrt(x)-2=0`

`=>(\sqrt(x)-2\sqrt(x))+(5-2)=0`

`=>-\sqrt(x)+3=0`

`=>-\sqrt(x)=-3`

`=>\sqrt(x)=3`

`=>x=9` ( thõa mãn )

khi `P=3` thì : `(\sqrt(x)+5)/(\sqrt(x)+1)=3`

`=>\sqrt(x)+5=3\sqrt(x)+3`

`=>\sqrt(x)+5-3\sqrt(x)-3=0`

`=>(\sqrt(x)-3\sqrt(x))+(5-3)=0`

`=>-2\sqrt(x)+2=0`

`=>-2\sqrt(x)=-2`

`=>\sqrt(x)=1`

`=>x=1` ( thõa mãn )

khi `P=4` thì : `(\sqrt(x)+5)/(\sqrt(x)+1)=4`

`=>\sqrt(x)+5=4\sqrt(x)+4`

`=>\sqrt(x)+5-4\sqrt(x)-4=0`

`=>(\sqrt(x)-4\sqrt(x))+(5-4)=0`

`=>-3\sqrt(x)+1=0`

`=>-3\sqrt(x)=-1`

`=>\sqrt(x)=1/3`

`=>x=1/9` ( thõa mãn )

khi `P=5` thì : `(\sqrt(x)+5)/(\sqrt(x)+1)=5`

`=>\sqrt(x)+5=5\sqrt(x)+5`

`=>\sqrt(x)+5-5\sqrt(x)-5=0`

`=>(\sqrt(x)-5\sqrt(x))+(5-5)=0`

`=>-4\sqrt(x)=0`

`=>x=0` ( thõa mãn )

vậy `x in {0;1/9;1;9}` thì `P in ZZ`