1.Cho ma trận $A=\left[\begin{array}{ccc}0&0\\1&0\end{array}\right]$ .Hãy tính ma trận tổng sau: ∑$A^n$=$I_{2}+2A+4A^2+8A^3+...+2^n.A^n$ 2.Cho ma trận $A=\left[\begin{array}{ccc}2&-5\\-3&4\end{array}\right]$ .Tìm $A^{-1}$ .

Bài giải:

1.

Ta có:

$I_{2}=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$  

$2A=\left[\begin{array}{ccc}0&0\\2&0\end{array}\right]$  

$4A^2=2A.2A=\left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]$  

$8A^3=...=2^n.A^n=\left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]$  

=>∑$A^n$=$\left[\begin{array}{ccc}1&0\\2&1\end{array}\right]$  

2.

Do $det A=-7$ $\neq$ $0$ nên A khả nghịch.

Ta có:

$A_{11}=4,A_{12}=3,A_{21}=5,A_{22}=2=>(A_{ij})_2=\left[\begin{array}{ccc}4&3\\5&2\end{array}\right]$ 

=>Ma trận phù hợp là:$adjA=[(A_{ij})_2]^T=\left[\begin{array}{ccc}4&5\\3&2\end{array}\right]$ 

Vậy $A^{-1}=\frac{1}{detA}.adjA=\frac{-1}{7}.\left[\begin{array}{ccc}4&5\\3&2\end{array}\right]$