1. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y=x^3 -2x^2 +(m-3)x+5 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1^2 + x2^2=4

$y'=3x^2-4x+m-3$

Để hàm số có cực trị: $\Delta'>0$

$\to 4-3(m-3)>0$

$\to -3m+13>0$

$\to m<\dfrac{13}{3}$

Theo Viet: $x_1+x_2=\dfrac{4}{3}; x_1x_2=\dfrac{m-3}{3}$

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$

$\to \Big(\dfrac{4}{3}\Big)^2-2.\dfrac{m-3}{3}=4$

$\to m=\dfrac{-1}{3}$ (TM)

Vậy $m=\dfrac{-1}{3}$

Đáp án:

$m = -\dfrac13$

Giải thích các bước giải:

$\quad y = x^3 - 2x^2 + (m-3)x + 5$

$\Rightarrow y' = 3x^2 - 4x + m - 3$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'}' >0$

$\Leftrightarrow 4 - 3(m-3) >0$

$\Leftrightarrow m < \dfrac{13}{3}$

Hai điểm cực trị $x_1,\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac43\\x_1x_2 = \dfrac{m-3}{3}\end{cases}$

Ta có:

$\quad x_1^2 + x_2^2 = 4$

$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4$

$\Leftrightarrow \dfrac{16}{9} - 2\cdot \dfrac{m-3}{3} = 4$

$\Leftrightarrow 6m =-2$

$\Leftrightarrow m = -\dfrac13$ (nhận)

Vậy $m = -\dfrac13$