1/ Tìm tất cả các giá trị thực của m để f(x)= -x^3 + 3x^2 + (m-1)x + 2m -3 đồng biến trên môt khoảng có độ dài lớn hơn 1. 2/ Hàm số y = 2x^3 +3(m-1)x^2 + 6(m-2)x - 1 tăng trên R.

Đáp án:

1) $m >-\dfrac{5}{2}$

2) $1 \leq m \leq 7$

Giải thích các bước giải:

1) $y = - x^3 +3x^2 + (m+1)x + 2m - 3$

$TXD: D = R$

$y' = -3x^2 + 6x + m + 1$

Hàm số có khoảng đồng biến

$\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$

$\Leftrightarrow 3^2 + 3(m + 1) > 0$

$\Leftrightarrow 3m + 12 > 0$

$\Leftrightarrow m > - 4$

Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1

$\Leftrightarrow$ $x_1, \, x_2 \, (x_2 > x_1)$ là hai nghiệm của $y' = 0$ thoả mãn $|x_1 - x_2| > 1$

Theo định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1+x_2 = 2\\x_1x_2 = -\dfrac{m +1}{3}\end{cases}$

Do đó: $|x_1 - x_2| > 1$

$\Leftrightarrow (x_1 - x_2)^2 > 1$

$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 - 1 > 0$

$\Leftrightarrow 2^2 + \dfrac{4(m+1)}{3} - 1 > 0$

$\Leftrightarrow 4m + 10 > 0$

$\Leftrightarrow m > -\dfrac{5}{2}$

Vậy $m > -\dfrac{5}{2}$

2) $y= 2x^3 + 3(m-1)x^2 + 6(m-2)x -1$

$TXD: D =R$

$y' = 6x^2 + 6(m-1)x + 6(m-2)$

Hàm số tăng (đồng biến) trên $R$

 $\Leftrightarrow \begin{cases}a > 0\\\Delta_{y'}' \leq 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}6 > 0\\9(m-1)^2 - 6.6(m -2) \leq 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow (m -1)^2 - 4(m -2) \leq 0$

$\Leftrightarrow m^2 - 6m + 7 \leq 0$

$\Leftrightarrow 1 \leq m \leq 7$