1. tìm m để phương trình x^3-3x+1+2m=0 có 3 nghiệm thực phân biệt 2. Cho hàm số y= 2x^3+3x^2-1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x^3+3x^2+2m=0

$1)\quad x^3 - 3x + 1 + 2m =0$

$\Leftrightarrow x^3 - 3x + 1 = -2m$

Xét $f(x) = x^3 - 3x + 1$

$\Rightarrow f'(x) = 3x^2 - 3$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Bảng xét dấu:

$\begin{array}{c|ccc}x&&-\infty&&-1&&1&&+\infty\\\hline f'(x)&&+&0&-&0&+&\end{array}$

Dựa vào bảng xét dấu ta được:

+ Hàm số đạt cực đại tại $x = -1;\ y_{\max} = f(-1) = 3$

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1;\ y_{\min} = f(1) = -1$

Khi đó:

Phương trình $f(x) = -2m$ có `3` nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow y =-2m$ cắt $y = f(x)$ tại `3` điểm phân biệt

$\Leftrightarrow y_{\min} < -2m < y_{\max}$

$\Leftrightarrow -1 < -2m < 3$

$\Leftrightarrow -\dfrac32 < m < \dfrac12$

$2)\quad y = f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 1$

$\Rightarrow f'(x) = 6x^2 + 6x$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -1\\x = 0\end{array}\right.$

Bảng xét dấu:

$\begin{array}{c|ccc}x&&-\infty&&-1&&0&&+\infty\\\hline f'(x)&&+&0&-&0&+&\end{array}$

Dựa vào bảng xét dấu, ta được:

+ Hàm số đạt cực đại tại $x = -1;\ y_{\max} = f(-1) =0$

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0;\ y_{\min} = f(0) = -1$

Khi đó:

$\quad 2x^3 + 3x^2 + 2m = 0$

$\Leftrightarrow 2x^3 + 3x^2 - 1 = -m - 1$

Số nghiệm của phương trình đúng bằng số giao điểm giữa đường thẳng $y = - m - 1$ và $y = f(x)$

+ Phương trình có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow y = - m - 1$ cắt $y = f(x)$ tại `1` điểm

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-m - 1 > y_{\max}\\-m - 1 < y_{\min}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-m - 1 > 0\\-m - 1 < -1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m< - 1 \\m>0\end{array}\right.$

+ Phương trình có `2` nghiệm

$\Leftrightarrow y = - m - 1$ cắt $y = f(x)$ tại `2` điểm

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-m - 1 = y_{\max}\\-m - 1 = y_{\min}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-m - 1 = 0\\-m - 1 = -1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m= - 1 \\m=0\end{array}\right.$

+ Phương trình có `3` nghiệm

$\Leftrightarrow y = - m - 1$ cắt $y = f(x)$ tại `3` điểm

$\Leftrightarrow y_{\min} < -m - 1 < y_{\max}$

$\Leftrightarrow -1 < - m - 1 < 0$

$\Leftrightarrow -1 < m < 0$