1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông (ABCD) và mặt phẳng (SCD) hợp với mặt phẳng đáy một góc 60 độ. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). A. 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AA'B'C' và khối lập phương ABCD.A'B'C'D.

Đáp án:

Bài 1: $\dfrac{a\sqrt[]{3}}{2}$

Bài 2: $\dfrac{1}{6}$

Giải thích các bước giải:

Bài 1: Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}CD⊥AD\\CD⊥SA\end{array} \right. → CD⊥(SAD) $

$→ CD⊥SD$

$(SCD)∩(ABCD)=CD$

Mà $\left\{ \begin{array}{l}CD⊥SD\\CD⊥AD\end{array} \right.$

→ Góc giữa $(SCD)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}=60^o$

Xét $ΔSAD$ có:

$SA=AD.\tan\widehat{SDA}$

$=a\sqrt[]{3}$

Từ $A$ kẻ $AH⊥SD$, vì $CD⊥(SAD)$ nên $CD⊥AH$

$→ d(A,(SCD))=AH$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔSAD$ vuông, ta có:

$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AD^2}$

$↔ \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{3a^2}+\dfrac{1}{a^2}$

$↔ \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{4}{3a^2}$

$↔ AH^2=\dfrac{3a^2}{4}$

$→ AH=\dfrac{a\sqrt[]{3}}{2}$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến $(SCD)$ là $\dfrac{a\sqrt[]{3}}{2}$

Bài 2: Ta có:

$V_{AA'B'C'}=\dfrac{1}{3}S_{A'B'C'}.d(A,(A'B'C'))$

$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}S_{A'B'C'D'}.d(A,(A'B'C'D'))$

$=\dfrac{1}{6}.S_{A'B'C'D'}.d(A,(A'B'C'D'))$

$=\dfrac{1}{6}V$