1. Cho hàm số y= x^3 - 3x^2 - 3mx + 1. Tìm tất cả giá trị m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1=3.x2 2. Tìm m để hàm số y= -x^3+3x^2+3(m^2-1)x-3m^2x-1 có hai cực trị x1, x2 đồng thời |x1-x2|=2

Câu 1:

$\quad y = x^3 - 3x^2 - 3mx + 1$

$\Rightarrow y' = 3x^2 - 6x - 3m$

Hàm số có cực trị

$\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$

$\Leftrightarrow 9 + 9m > 0$

$\Leftrightarrow m > -1$

Với $x_1;\ x_2$ là hai điểm cực trị của hàm số

$\Rightarrow x_1;\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2\quad (1)\\x_1x_2 = - m\quad (2)\end{cases}$

Ta có:

$\quad x_1 = 3x_2$

Thay vào $(1)$ ta được:

$\quad 3x_2 + x_2 = 2$

$\Leftrightarrow x_2 = \dfrac12\Rightarrow x_1 = \dfrac32$

Thay vào $(2)$ ta được:

$\quad \dfrac32\cdot \dfrac12 = - m$

$\Leftrightarrow m = - \dfrac34$ (nhận)

Vậy $m = -\dfrac34$

Câu 2:

$\quad y = - x^3 + 3x^2 + 3(m^2 -1)x - 3m^2 - 1$

$\Rightarrow y' = - 3x^2 + 6x + 3(m^2 -1)$

Hàm số có cực trị

$\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$

$\Leftrightarrow 9 + 9(m^2 -1)> 0$

$\Leftrightarrow m\ne 0$

Với $x_1;\ x_2$ là hai điểm cực trị của hàm số

$\Rightarrow x_1;\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2\quad (1)\\x_1x_2 = 1 - m^2\quad (2)\end{cases}$

Ta có:

$\quad |x_1 - x_2| = 2$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4$

$\Leftrightarrow 4 - 4(1-m^2) = 4$

$\Leftrightarrow m= \pm 1$ (nhận)

Vậy $m=\pm 1$