1. biết phương trình az ³ + bz ² + cz +d=0 (a,b,c,d ∈ R) có ba nghiệm là z1,z2,z3. biết z2=2-3i và z1 là nghiệm có phần ảo dương. tìm phần thực của số phức w=z3+z2-3z1 2. tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất một số phức z thỏa mãn z.z ngang=4 và |z+√3-i|=m

Đáp án:

 Câu 1: $ - 4 - \dfrac{d}{{13a}}$

Câu 2: $m \in \left\{ {0;4} \right\}$

Giải thích các bước giải:

 Câu 1:

Ta có:

Phương trình $a{z^3} + b{z^2} + cz + d = 0$ có 3 nghiệm $z_1;z_2;z_3$ nên $a\ne 0$

Do $z_2=2-3i$; $z_1$ là nghiệm có phần ảo dương nên $z_1=2+3i$ và $z_3 \in R$

Ta có:

Áp dụng ĐL Viet cho nghiệm của phương trình bậc $3$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} + {z_3} = \dfrac{{ - b}}{a}\\
{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1} = \dfrac{c}{a}\\
{z_1}{z_2}{z_3} = \dfrac{{ - d}}{a}
\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{z_3} + 4 = \dfrac{{ - b}}{a}\\
4{z_3} + 13 = \dfrac{c}{a}\\
13{z_3} = \dfrac{{ - d}}{a}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{z_3} = \dfrac{{ - d}}{{13a}}\\
\dfrac{{ - d}}{{13a}} + 4 = \dfrac{{ - b}}{a}\\
4.\left( {\dfrac{{ - d}}{{13a}}} \right) + 13 = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{z_3} = \dfrac{{ - d}}{{13a}}\\
52a + 13b - d = 0\\
169a - 4d - 13c = 0
\end{array} \right.
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
w={z_3} + {z_2} - 3{z_1}\\
 = \dfrac{{ - d}}{{13a}} + 2 - 3i - 3\left( {2 + 3i} \right)\\
 = \left( { - 4 - \dfrac{d}{{13a}}} \right) - 12i
\end{array}$

Vậy với điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
52a + 13b - d = 0\\
169a - 4d - 13c = 0
\end{array} \right.$ phương trình có $3 $ nghiệm ${z_1} = 2 + 3i;{z_2} = 2 - 3i;{z_3} = \dfrac{{ - d}}{{13a}}$ và khi đó phần thực của số phức $w$ là: $ - 4 - \dfrac{d}{{13a}}$

Câu 2:

Đặt $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \overline z  = x - yi\\
 \Rightarrow z.\overline z  = {x^2} + {y^2}\\
 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 4
\end{array}$

$\to $ Hình ảnh điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn $(C_1)$ tâm $O(0;0)$ bán kính $R_1=2$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\left| {z + \sqrt 3  - i} \right| = m\\
 \Leftrightarrow \left| {\left( {x + \sqrt 3 } \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = m\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = m\\
 \Leftrightarrow {\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {m^2}
\end{array}$

$\to $ Hình ảnh điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn $(C_2)$ tâm $I(-\sqrt 3;1)$ bán kính $R_2=m$

Như vậy:

Điểm $M$ là giao điểm của hai đường tròn $(C_1) $ và $(C_2)$

Để tồn tại duy nhất một số phức $z$ thỏa mãn đề bài

$ \Leftrightarrow $ Tồn tại duy nhất một giao điểm của hai đường tròn $(C_1) $ và $(C_2)$

Mà lại có:

$OI = \sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + 1}  = 2$

$\to I\in (C_1)$

Nên hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc nhau tại $1$ điểm duy nhất.

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 2{R_1}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 4
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $m \in \left\{ {0;4} \right\}$