Tìm hệ số không chứa \(x\) trong các khai triển sau \({\left( {{x^3} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\), biết rằng \(C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 78\) với \(x > 0\)
Trả lời bởi giáo viên
Ta có: \(C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 78 \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{(n - 1)!1!}} + \dfrac{{n!}}{{(n - 2)!2!}} = 78\)
\( \Leftrightarrow n + \dfrac{{n(n - 1)}}{2} = 78 \Leftrightarrow {n^2} + n - 156 = 0 \Leftrightarrow n = 12\).
Khi đó: \(f(x) = {\left( {{x^3} - \dfrac{2}{x}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( - 2)}^k}{x^{36 - 4k}}} \)
Số hạng không chứa \(x\) ứng với \(k:36 - 4k = 0 \Rightarrow k = 9\)
Số hạng không chứa \(x\) là: \({( - 2)^9}C_{12}^9 = - 112640\)
Hướng dẫn giải:
- Tìm \(n\) từ điều kiện bài cho.
- Sử dụng công thức khai triển \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \) rồi cho lũy thừa của \(x\) bằng \(0\)