Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^{26}}\) trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {\dfrac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n}\), biết \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n = {2^{20}} - 1\)

Ta có:

\(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n + 1} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}\)

Vì \(C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 - k}\) nên:

\( C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n - 1} + ... + C_{2n + 1}^0 = {2^{2n + 1}}\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n} \right) = {2^{2n + 1}}\)

\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n = {2^{2n}}\)

\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^n = {2^{2n}} - C_{2n + 1}^0 = {2^{2n}} - 1\)

Do đó \({2^{2n}} - 1 = {2^{20}} - 1 \Leftrightarrow n = 10\)

Khi đó: \({\left( {\dfrac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^{10}} = {\left( {{x^{ - 4}} + {x^7}} \right)^{10}} \) \(= \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{({x^{ - 4}})}^{10 - k}}.{x^{7k}}} \) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{11k - 40}}} \)

Hệ số chứa \({x^{26}}\) ứng với giá trị \(k:\) \(11k - 40 = 26 \Rightarrow k = 6\).

Vậy hệ số chứa \({x^{26}}\) là: \(C_{10}^6 = 210\).