Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh \({A_1},\,\,{A_2},\,\,{B_1},\,\,{B_2}\) như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/ m² và phần còn lại là 100.000 đồng/m². Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết \({A_1}{A_2} = 8m,\,\,{B_1}{B_2} = 6m\) và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có \(MQ = 3m\) ?

(E) đã cho có độ dài trục lớn \(2a = 8 \Rightarrow a = 4\), độ dài trục bé \(2b = 6 \Rightarrow b = 3\).

Ta có diện tích (E) bằng : \({S_{\left( E \right)}} = \pi .4.3 = 12\pi \,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Phương trình \(\left( E \right):\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow {y^2} = 9.\dfrac{{16 - {x^2}}}{{16}} \Leftrightarrow y =  \pm \dfrac{{3\sqrt {16 - {x^2}} }}{4}\).

Ta có \(M \in \left( E \right);\,\,{y_M} = \dfrac{1}{2}MQ = \dfrac{3}{2} \Rightarrow {x_M} =  - 2\sqrt 3  \Rightarrow M\left( { - 2\sqrt 3 ;\dfrac{3}{2}} \right)\)

Diện tích phần giới hạn bởi (E), trục Ox, đường thẳng MQ có diện tích:

\({S_{AMQ}} = 2\int\limits_{ - 4}^{ - 2\sqrt 3 } {\dfrac{{3\sqrt {16 - {x^2}} }}{4}dx}  \approx 1,087 \Rightarrow \) Diện tích phần trắng là: \({S_{trang}} = 2{S_{AMQ}} = 2,174\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Khi đó diện tích phần xanh là \({S_{xanh}} = {S_{\left( E \right)}} - {S_{trang}} = 12\pi  - 2,174 = 35,525\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Vậy chi phí để sơn biển quảng cáo là \(2,174.100 + 35,525.200 \approx 7322\) (nghìn đồng) \( \approx 7322000\) đồng.