Hai dây đẫn thẳng dài vô hạn, đặt song song trong không khí cách nhau một đoạn $d = 12 cm$ có các dòng điện cùng chiều $I_1 =I_2 =I = 10 A$ chạy qua. Một điểm $M$ cách đều mỗi dây dẫn một đoạn $x$. $x$ bằng bao nhiêu để độ lớn cảm ứng từ tổng hợp do hai dòng điện gây ra đạt giá trị cực đại?

Giả sử hai dây dẫn được đặt vuông góc với mặt phẵng hình vẽ, dòng $I_1$ đi vào tại $A$, dòng $I_2$ đi vào tại $B$. Các dòng điện $I_1$ và $I_2$ gây ra tại $M$ các véc tơ cảm ứng từ \(\mathop {{B_1}}\limits^ \to  \) và \(\mathop {{B_2}}\limits^ \to  \) có phương chiều như hình vẽ:

Có độ lớn:     \({B_1} = {B_2} = {2.10^{ - 7}}\dfrac{I}{x}\).

Cảm ứng từ tổng hợp tại M là:

\(\mathop B\limits^ \to   = \mathop {{B_1}}\limits^ \to   + \mathop {{B_2}}\limits^ \to  \) có phương chiều như hình vẽ và có độ lớn:

\(B = {B_1}cosa + {B_2}cosa = 2{B_1}cosa = 2{B_1}\dfrac{{HM}}{{AM}} = {2.2.10^{ - 7}}\dfrac{I}{x}\dfrac{{\sqrt {{x^2} - {{\left( {\dfrac{d}{2}} \right)}^2}} }}{x} = {4.10^{ - 7}}I\sqrt {\dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{{{d^2}}}{{4{x^4}}}} \)

Nhận thấy, B đạt cực đại khi \(\dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{{{d^2}}}{{4{x^4}}}\)  đạt cực đại

Ta có: \(\dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{{{d^2}}}{{4{x^4}}} = \dfrac{4}{{{d^2}}}\dfrac{{{d^2}}}{{4{x^2}}}\left( {1 - \dfrac{{{d^2}}}{{4{x^2}}}} \right)\)

Do   \(d < x \to 1 - \dfrac{{{d^2}}}{{4{x^2}}} > 0\)

Áp dụng BĐT cosi ta có: \(\dfrac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}}(1 - \dfrac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}}) \le \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}} + 1 - \dfrac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}}} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{1}{4}\)

Dấu “ = ” xảy ra khi:  \(\dfrac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}} = (1 - \dfrac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}}) \to {x^2} = \dfrac{{{d^2}}}{2} \to x = \dfrac{d}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{12}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 2 cm\)