Đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {1 + 3x + 2{x^2}} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_{20}}{x^{20}}\). Tìm \({a_{15}}\)
Trả lời bởi giáo viên
Ta có: $P\left( x \right) = {\left( {1 + 3x + 2{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {3x + 2{x^2}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(3x)^{k - i}}.{(2{x^2})^i} $ $= \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {.3^{k - i}}{.2^i}{x^{k + i}}$
với \(0 \le i \le k \le 10\,\,\).
Do đó \(k + i = 15\) với các trường hợp
\(k = 10,i = 5\) hoặc \(k = 9,i = 6\) hoặc \(k = 8,i = 7\)
Vậy \({a_{15}} = C_{10}^{10}.C_{10}^5{.3^5}{.2^5} + C_{10}^9.C_9^6{.3^3}{.2^6} + C_{10}^8.C_8^7{.3.2^7}\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức khai triển \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \) rồi cho lũy thừa của \(x\) bằng \(15\)