Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = {x^2} + 8\ln 2x - mx\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(y' = 2x + 8.\dfrac{2}{{2x}} - m = 2x + \dfrac{8}{x} - m\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

\( \Leftrightarrow 2x + \dfrac{8}{x} - m \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow m \le 2x + \dfrac{8}{x}\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\,\,\left( * \right)\).

Đặt \(g\left( x \right) = 2x + \dfrac{8}{x}\), khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(2x + \dfrac{8}{x} \ge 2\sqrt {2x.\dfrac{8}{x}}  = 2.4 = 8\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) = 8\), dấu “=” xảy ra \( \Rightarrow 2x = \dfrac{8}{x} \Leftrightarrow x = 2\).

Từ đó ta suy ra được \(m \le 8\), kết hợp điều kiện \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\).

Vậy có 8 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.