Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \((2\cos 2x + 5)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\) trên khoảng \((0;2\pi )\).

\((2\cos 2x + 5)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow (2\cos 2x + 5)\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow - (2\cos 2x + 5) \cdot \cos 2x + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow - 2{\cos ^2}2x - \cos 2x + 3 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left( N \right)}\\{\cos 2x = - 3\left( L \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi }\\{2x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi }\\{x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi }\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\end{array}\)

Vì \(x \in (0;2\pi ) \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6};\dfrac{{7\pi }}{6};\dfrac{{11\pi }}{6}} \right\}\)

Vậy tổng các nghiệm là \(\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{5\pi }}{6} + \dfrac{{7\pi }}{6} + \dfrac{{11\pi }}{6} = 4\pi \).