Cho lăng trụ đứng \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có đáy $ABC$ là một tam giác cân với \(AB = AC = a,\widehat {BAC} = {120^\circ }\), cạnh bên \(B{B^\prime } = a\). Gọi \(I\) là trung điểm \(C{C^\prime }\). Chứng minh rằng tam giác \(A{B^\prime }I\) vuông ở \(A\). Tính \({\mathop{\rm cosin}\nolimits} \) của góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \(\left( {A{B^\prime }I} \right)\).

Áp dụng định lý \({\mathop{\rm cosin}\nolimits} \) cho ta có: \(B{C^2} = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}\cos {120^0} = 3{a^2}\).

Áp dụng định lý Py-ta-go cho các tam giác:

\(\Delta {B^\prime }BA:{B^\prime }{A^2} = 2{a^2}\).

\(\Delta ICA:A{I^2} = {a^2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{4}\).

\(\Delta {B^\prime }{C^\prime }I:{B^\prime }{I^2} = 3{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{13{a^2}}}{4}\).

Ta có: \({B^\prime }{A^2} + A{I^2} = 2{a^2} + \dfrac{{5{a^2}}}{4} = \dfrac{{13{a^2}}}{4} = {B^\prime }{I^2} \Rightarrow \Delta A{B^\prime }I\) vuông ở \(A\).

Ta có: \({S_{\Delta A{B^\prime }I}} = \dfrac{1}{2}AI.A{B^\prime } = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} \cdot a\sqrt 2 = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \(\left( {A{B^\prime }I} \right)\). Khi đó:

\(\cos \varphi  = \dfrac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABI'}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {10} }} = \dfrac{{\sqrt {30} }}{{10}}\)