Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ là một điểm nằm trên đoạn đường chéo $BD$ . Thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\) đi qua $M$ và song song với $AC$ và $SB$ có thể là những hình gì?
Trả lời bởi giáo viên
Gọi \(O = AC \cap BD\)
Trường hợp 1: $M$ nằm giữa $O$ và $B$ .
Trong $\left( {ABCD} \right)$ qua $M$ kẻ \(FG//AC\left( {F \in AB,G \in BC} \right)\)
Trong $\left( {SAB} \right)$ qua $F$ kẻ \(FH//SB\left( {H \in SA} \right)\).
\( \Rightarrow mp\left( \alpha \right)\) là $\left( {FHG} \right)$ .
Ta có: \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = FG,\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = FH.\)
Ta có: \(mp\left( \alpha \right)\) và $\left( {SAC} \right)$ có $H$ chung.
\(\begin{array}{l}\left( \alpha \right) \supset FG\\\left( {SAC} \right) \supset AC\\FG//AC\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Qua $H$ kẻ \(HI//AC\left( {I \in SC} \right),mp\left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right) = HI,mp\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = GI\)
Trong $\left( {ABCD} \right)$ kéo dài $FG$ cắt $CD$ và $AD$ lần lượt tại $K$ và \(J\left( {K \in CD,J \in AD} \right)\).
Trong $\left( {SCD} \right)$ gọi \(L = KI \cap SD \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = IL,\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = HL.\)
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\) là ngũ giác $HFGIL$ .
Trường hợp 2: $M$ nằm giữa $O$ và $D$ .
Trong $\left( {ABCD} \right)$ qua $M$ kẻ \(EF//AC\left( {E \in AD,F \in CD} \right)\).
Trong $\left( {SBD} \right)$ qua $M$ kẻ \(MG//SB\left( {G \in SD} \right).\)
\( \Rightarrow mp\left( \alpha \right)\) là $\left( {EFG} \right)$ và $EFG$ cũng chính là thiết diện của hình chóp khi cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\).
Vậy thiết diện là tam giác.
Tóm lại, tùy vào vị trí của điểm $M$ trên đoạn $BD$ , thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\) có thể là tam giác hoặc ngũ giác.
Hướng dẫn giải:
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng các yếu tố về song song để xác định \(mp\left( \alpha \right)\).
- Xác định thiết diện của hình chóp bằng cách xác định giao tuyến của \(mp\left( \alpha \right)\) với các mặt của hình chóp.
Lưu ý: Khi đề bài cho các điểm tùy ý mà vị trí của điểm đó chưa rõ ràng ta phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra.
Giải thích thêm:
Học sinh thường không xét hết các trường hợp về vị trí của điểm $M$ nên dẫn đến chỉ xác định được thiết diện hoặc là tam giác, hoặc là ngũ giác chứ không xác định được cả hai.