Cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=4$ . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
$w = \left( {3 + 4i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó.

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)}\\{ \Rightarrow z = \dfrac{{w - i}}{{3 + 4i}} = \dfrac{{x + \left( {y - 1} \right)i}}{{3 + 4i}}}\\{ = \dfrac{{3x + 4\left( {y - 1} \right) + \left[ {3\left( {y - 1} \right) - 4x} \right]i}}{{25}}}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{l}}{16 = {{\left| z \right|}^2} = {{\left( {\dfrac{{3x + 4y - 4}}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{ - 4x + 3y - 3}}{{25}}} \right)}^2}}\\{{{\left[ {\dfrac{3}{{25}}x + \dfrac{4}{{25}}\left( {y - 1} \right)} \right]}^2} + {{\left[ {\dfrac{{ - 4}}{{25}}x + \dfrac{3}{{25}}\left( {y - 1} \right)} \right]}^2} = 16}\\{ \Leftrightarrow {x^2}\left[ {{{\left( {\dfrac{3}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{4}{{25}}} \right)}^2}} \right]}\\{ + {{\left( {y - 1} \right)}^2}\left[ {{{\left( {\dfrac{4}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{3}{{25}}} \right)}^2}} \right] = 16}\\{ \Leftrightarrow {x^2}.\dfrac{1}{{25}} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}.\dfrac{1}{{25}} = 16}\\{ \Rightarrow {x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} = 400 \Rightarrow r = 20}\end{array}}\end{array}\)