Cho bất phương trình ${\log _7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 >$${\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng (1;3)?

Chỉ được phép điền số 0, nguyên âm, nguyên dương và phân số dạng a/b

Đáp án:

${\log _7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 >$${\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 6x + 5 + m > 0\\{\log _7}\left[ {7\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \right] > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - {x^2} - 6x - 5\\m < 6{x^2} + 8x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right)\\m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right)\end{array} \right.\end{array}$

Với $f\left( x \right) =  - {x^2} - 6x - 5,$$g\left( x \right) = 6{x^2} + 8x + 9$

Xét sự biến thiên của hai hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$

$f'\left( x \right) =  - 2x - 6 < 0\forall x \in \left( {1;3} \right)$=> f(x) luôn nghịch biến trên khoảng (1;3)

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) =  - 12$

$g'\left( x \right) = 12x + 8 > 0\forall x \in \left( {1;3} \right)$=> g(x) luôn đồng biến trên khoảng (1;3)

$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 23$

Khi đó $- 12 < m < 23$

Mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { - 11; - 10;...;22} \right\}$

Vậy có tất cả 34 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.