Cho bất phương trình \({\log _7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > \)\({\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng (1;3)?

Chỉ được phép điền số 0, nguyên âm, nguyên dương và phân số dạng a/b

Đáp án:

\({\log _7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > \)\({\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 6x + 5 + m > 0\\{\log _7}\left[ {7\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \right] > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - {x^2} - 6x - 5\\m < 6{x^2} + 8x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right)\\m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(f\left( x \right) =  - {x^2} - 6x - 5,\)\(g\left( x \right) = 6{x^2} + 8x + 9\)

Xét sự biến thiên của hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\)

\(f'\left( x \right) =  - 2x - 6 < 0\forall x \in \left( {1;3} \right)\)=> f(x) luôn nghịch biến trên khoảng (1;3)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) =  - 12\)

\(g'\left( x \right) = 12x + 8 > 0\forall x \in \left( {1;3} \right)\)=> g(x) luôn đồng biến trên khoảng (1;3)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 23\)

Khi đó \( - 12 < m < 23\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 11; - 10;...;22} \right\}\)

Vậy có tất cả 34 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.