Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(A\) là điểm cố định trên đường tròn \(\left( {O;R} \right).\) Gọi \(AB\) và \(AC\) là hai dây cung thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) thỏa mãn \(\sqrt {AB.AC} = R\sqrt 3 .\) Khi đó vị trí của \(B,\,C\) trên \(\left( O \right)\) để diện tích \(\Delta ABC\) lớn nhất là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Kẻ \(AH \bot BC,\,OI \bot BC\), đường kính $AD.$
Ta chứng minh được \(\Delta AHC \backsim \Delta ABD\,\left( {g - g} \right).\)
Do đó \(\dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{AC}}{{AD}} \Rightarrow AH.AD = AB.AC \)\(\Rightarrow AB.AC = 2R.AH\,\,\left( 1 \right).\)
Theo giả thiết \(\sqrt {AB.AC} = R\sqrt 3 ,\) nên \(AB.AC = 3{R^2}\,\,\left( 2 \right).\)
Thay \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 1 \right)\) ta có \(AH = \dfrac{{3R}}{2}.\)
Lại có \(OI + OA \ge AI \ge AH\) nên \(OI \ge AH - OA = \dfrac{{3R}}{2} - R = \dfrac{R}{2}.\)
Do \(AH = \dfrac{{3R}}{2}\) là giá trị không đổi nên \({S_{ABC}}\) lớn nhất khi \(BC\) lớn nhất \( \Leftrightarrow OI\) nhỏ nhất
\( \Leftrightarrow OI = \dfrac{R}{2} \Leftrightarrow BC \bot OA \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A\).
Mà \(OI = \dfrac{R}{2} \Rightarrow \sin \widehat {OBI} \)\(= \dfrac{{OI}}{{OB}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow \widehat {OBI} = \widehat {OCI} = {30^0} \)\(\Rightarrow \widehat {BOC} \)\(= {120^0}\)$ \Rightarrow \widehat {BAC} = {60^0}$
Vậy \(\Delta ABC\) đều.
Hướng dẫn giải:
Kẻ \(AH \bot BC,\,OI \bot BC\), đường kính $AD.$
Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh \(\widehat {ABD} = {90^0} \Rightarrow \Delta ABD \backsim \Delta AHC\).
Tính độ dài \(AH\) từ tính chất hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra điều kiện để diện tích tam giác \(ABC\) lớn nhất.
Giải thích thêm:
HS thường làm sai như sau:
Diện tích tam giác \(ABC\) lớn nhất khi \(BC = 2R,AH = R\) mà không để ý đến điều kiện \(\sqrt {AB.AC} = R\sqrt 3 \).
