Biết rằng \(\int\limits_4^{a + \sqrt b } {\dfrac{1}{{\sqrt { - {x^2} + 6x - 5} }}dx} = \dfrac{\pi }{6}\) trong đó $a, b$ là các số nguyên dương và \(4 < a + \sqrt b < 5\) . Tồng \(a + b\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Ta có \(\int\limits_4^{a + \sqrt b } {\dfrac{1}{{\sqrt { - {x^2} + 6x - 5} }}dx} = \int\limits_0^{a + \sqrt b } {\dfrac{1}{{\sqrt {4 - {{(x - 3)}^2}} }}dx} \).
Đặt \(x - 3 = 2\sin t,t \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right),{\rm{d}}x = 2\cos t\;{\rm{d}}t\).
Đổi cận \(x = 4 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{6},x = a + \sqrt b \Rightarrow t = \arcsin \dfrac{{a + \sqrt b - 3}}{2} = m\).
\[\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^m {\dfrac{{2\cos t}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}} \;{\rm{d}}t = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^m {dt} = \left. t \right|_{\dfrac{\pi }{6}}^m = m - \dfrac{\pi }{6}.\]
Theo đề ta có:
\({\rm{m}} - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{6} \Leftrightarrow \arcsin \dfrac{{a + \sqrt b - 3}}{2} = \dfrac{\pi }{3} \Rightarrow \dfrac{{a + \sqrt b - 3}}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow a + \sqrt b = \sqrt 3 + 3\).
Do đó \(a = 3,b = 3,a + b = 6\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến: Đặt \(x - 3 = 2\sin t,t \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
Câu hỏi khác
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 1 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 2 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 10 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 7 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
- Đề thi ĐGNL Hà Nội - Đề số 3 gồm 3 phần tư duy định tính, tư duy định lượng, khoa học xã hội 150 câu 195 phút có đáp án
