$\frac{x\sqrt{x}+4x+\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)^2}$ tìm GTNN

Đáp án:

`A_{min}=0⇔x=0`

Giải thích các bước giải:

`ĐK` : `x≥0,x\ne4`

Đặt `A={x\sqrt[x]+4x+\sqrt[x]}/{(\sqrt[x]-2)^2}`

`A={\sqrt[x](x+4\sqrt[x]+1)}/{(\sqrt[x]-2)^2}`

Nhận xét :

`x≥0⇒\sqrt[x]≥0⇒4\sqrt[x]≥0`

`⇒` `x+4\sqrt[x]+1≥1`

`⇒` `x+4\sqrt[x]+1>0`

Mà : `(\sqrt[x]-2)^2>0` 

`⇒` `{\sqrt[x](x+4\sqrt[x]+1)}/{(\sqrt[x]-2)^2}≥0`

`⇔` `A≥0`

`⇒` `A_{min}=0`

`⇔` `{\sqrt[x](x+4\sqrt[x]+1)}/{(\sqrt[x]-2)^2}=0`

`⇒` `\sqrt[x](x+4\sqrt[x]+1)=0`

`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}=0\\x+4\sqrt{x}+1=0\end{array} \right.\) 

`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x+4\sqrt{x}=-1\end{array} \right.\) 

Mà : `x+4\sqrt[x]≥0`

`⇒` `x=0` `(TMĐK)`

Vậy `A_{min}=0⇔x=0`