Xét tính đơn điệu của hsố: y= x+ căn(1-x^2)

Đáp án:

Hàm số đồng biến trên $(-1;\frac{\sqrt[]{2}}{2})$ và nghịch biến trên $(\frac{\sqrt[]{2}}{2};1)$

Giải thích các bước giải:

TXĐ: $D=[-1;1]$

Ta có: `y'=\frac{\sqrt[1-x^2]-x}{\sqrt[1-x^2]}`

`y'=0⇔\sqrt[1-x^2]=x`

`⇔ ` $\begin{cases}x\geq0 \\1-x^2=x^2\end{cases}$

`⇔ x=\sqrt[2]/2`

Bảng biến thiên:

\begin{array}{|l|cr} x & -1 & & & & \dfrac{\sqrt[]{2}}{2} & & & 1\\ \hline y' &||& + & & &0&& - &||\\ \hline \end{array}

Vậy: Hàm số đồng biến trên $(-1;\frac{\sqrt[]{2}}{2})$ và nghịch biến trên $(\frac{\sqrt[]{2}}{2};1)$

Đáp án:

Hàm số đồng biến \((-1;\dfrac{1}{\sqrt{2}})\)

Hàm số nghịch biến \((\dfrac{1}{\sqrt{2}};1)\)

Giải thích các bước giải:

 \(y=x+\sqrt{1-x^{2}}\)

ĐK: \(1-x^{2} \geq 0\)

\(\Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1\)

TXĐ: \([-1;1]\)

\(y'=1-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\dfrac{\sqrt{1-x^{2}}-x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

Cho \(y'=0\)

$\begin{cases}x \geq 0\\\sqrt{1-x^{2}}=x\end{cases}$

\(\Leftrightarrow \)

$\begin{cases}x \geq 0\\1-x^{2}=x^{2}\end{cases}$

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Kết luận: 

Hàm số đồng biến \((-1;\dfrac{1}{\sqrt{2}})\)

Hàm số nghịch biến \((\dfrac{1}{\sqrt{2}};1)\)