Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B, 5 học sinh lớp 12C vào 1 hàng ngang. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh không có 2 học sinh cùng lớp cạnh nhau

Xếp 5 học sinh lớp 12C vào trước có 5!5! cách xếp

Như vậy 5 bạn tạo thành 6 chỗ trống

Th1: Xếp 5 bạn ở 2 lớp còn lại vào vị trí như sau: CxCxCxCxCxCxCxCxCxCx (C là học sinh lớp 12C, x là học sinh 2 lớp còn lại)
Xếp 5 bạn ở 2 lớp 12A và 12B vào 5 vị trí đó có 5! cách

Nên Th1 có: 5!.5!5!.5!

Th2: Xếp 5 bạn ở 2 lớp còn lại vào vị trí như sau: xCxCxCxCxCxCxCxCxCxC như Th1

Th3: Xếp theo cách sau: CxxCxCxCxCCxxCxCxCxC khi đó 2 bạn ở vị trí xxxx gồm 1 học sinh lớp 12A, và 1 học sinh lớp 12B vẫn đảm bảo không có 2 bạn cùng lớp ngồi cạnh nhau
Chọn 1 bạn từ 2 bạn lớp 12A, chọn 1 bạn từ 3 học sinh lớp 12B có C12.C13C21.C31

Sắp xếp 2 bạn đó ngồi vào 2 vị trí xxxx có 2!2! cách xếp

Xếp xx,x,x,xxx,x,x,x vào 4 vị trí có 4! cách

Nên Th3 có: 5!.C12.C13.2!.4!=2.3.2!.4!.5!5!.C21.C31.2!.4!=2.3.2!.4!.5!

Vậy có tất cả số cách xếp là: 5!.5!.2+2.3.2!.4!.5!=633605!.5!.2+2.3.2!.4!.5!=63360 cách.

Đáp án: Có $63360$ cách xếp 10 học sinh trong đó không có 2 bạn cùng lớp ngồi cạnh nhau

Giải thích các bước giải:

Xếp 5 học sinh lớp 12C vào trước có $5!$ cách xếp

Như vậy 5 bạn tạo thành 6 chỗ trống

Th1: Xếp 5 bạn ở 2 lớp còn lại vào vị trí như sau: $CxCxCxCxCx$ (C là học sinh lớp 12C, x là học sinh 2 lớp còn lại)
Xếp 5 bạn ở 2 lớp 12A và 12B vào 5 vị trí đó có 5! cách

Nên Th1 có: $5!.5!$

Th2: Xếp 5 bạn ở 2 lớp còn lại vào vị trí như sau: $xCxCxCxCxC$ như Th1

Th3: Xếp theo cách sau: $CxxCxCxCxC$ khi đó 2 bạn ở vị trí $xx$ gồm 1 học sinh lớp 12A, và 1 học sinh lớp 12B vẫn đảm bảo không có 2 bạn cùng lớp ngồi cạnh nhau
Chọn 1 bạn từ 2 bạn lớp 12A, chọn 1 bạn từ 3 học sinh lớp 12B có $C_2^1.C_3^1$

Sắp xếp 2 bạn đó ngồi vào 2 vị trí $xx$ có $2!$ cách xếp

Xếp $xx,x,x,x$ vào 4 vị trí có 4! cách

Nên Th3 có: $5!.C_2^1.C_3^1.2!.4!=2.3.2!.4!.5!$

Vậy có tất cả số cách xếp là: $5!.5!.2+2.3.2!.4!.5!=63360$ cách.