Xác định tất cả các giá trị có thể có của biểu thức $A^{3}$ +$B^{3}$ +$C^{3}$-3ABC trong đó A, B và C là các số nguyên không âm
1 câu trả lời
`A=a^3+b^3+c^3-3abc`
`=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc`
`=[(a+b)^3+c^3)]-3ab(a+b+c)`
`=(a+b+c)[(a+b)^2+(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)`
`=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2+ac+bc+c^2-3ab)`
`=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)`
Vì `a,b,c≥0`
`⇒a+b+c≥0` `(1)`
- Xét `a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca`
`=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)`
`=1/2[(a^2-2ab+b^2)+(b^2+2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)]`
`=1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0` `(2)`
Từ `(1)+(2)⇒A≥0`
Vậy `A≥0` với `a,b,c≥0`
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
