x^3+(m-2)x^2+(m^2-2m-3)x-2m^2+6=0 tìm m để pt có 3 no phân biệt

Đáp án:

Giải thích các bước giải: vắn tắt chút vì dễ hiểu

$PT <=> (x - 2)(x^{2} + mx + m^{2} - 3) = 0$

$ => PT $ luôn có nghiệm $x = 2$ với mọi $m$

Để PT có 3 nghiệm pb thì PT 

$ x^{2} + mx + m^{2} - 3 = 0$

phải có 2 nghiệm pb khác $2$

$ Delta = m^{2} - 4(m^{2} - 3) = 3(4 - m^{2}) > 0$
$ <=> - 2 < m < 2 (1)$

$ 2^{2} + m.2 + m^{2} - 3 = m^{2} + 2m + 1 $

$ = (m + 1)^{2} \neq 0 <=> m \neq - 1 (2)$

Từ $ (1); (2) => - 2 < m < - 1; - 1 < m < 2$

$x^3+(m-2)x^2+(m^2-2m-3)x-2m^2+6=0$

$\to (x-2)(x^2 +mx+m^2-3)=0$

$\to \left[\begin{matrix} x=2\\ x^2+mx+m^2-3=0(*)\end{matrix}\right.$

Để PT có 3 nghiệm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác $2$

$\to \begin{cases} \Delta=m^2-4(m^2-3)>0\\ 2^2+2m+m^2-3\ne 0\end{cases}$

$\to \begin{cases} -3m^2+12>0\\ m^2+2m+1\ne 0\end{cases}$

$\to \begin{cases} -2<m<2\\ m\ne -1\end{cases}$

Vậy $-2<m<-1$ hoặc $-1<m<2$