Tìm $m$ để phương trình ẩn $x$ sau đây có ba nghiệm phân biệt: $x^3-2mx^2+(m^2+1)x-m=0(1)$ Giải chi tiết giúp mình với nhé

Ta có:

`x^3 - 2mx^2 + (m^2 + 1)x - m = 0`

`⇔ x^3 - mx^2 - mx^2 + m^2x + x - m = 0`

`⇔ (x^3 - mx^2) - (mx^2 - m^2x) + (x - m) = 0`

`⇔ x^2(x - m) - mx(x - m) + (x - m) = 0`

`⇔ (x - m)(x^2 - mx + 1) = 0`

Để PT `(1)` có `3` nghiệm phân biệt thì PT `x^2 - mx + 1` phải có `2` nghiệm phân biệt khác `m`

Xét PT: `x^2 - mx + 1 = 0`

`Δ = (- m )^2 - 4.1.1 = m^2 - 4`

Để PT `x^2 - mx + 1` có `2` nghiệm phân biệt thì `Δ > 0`

`⇒ m^2 - 4 > 0`

`⇔ (m - 2)(m + 2) > 0`

$⇔ \left[\begin{matrix} \begin{cases} m + 2 > 0\\m - 2 > 0\\ \end{cases}\\ \begin{cases} m + 2 < 0\\m - 2 < 0\\ \end{cases}\end{matrix}\right.$

$⇔ \left[\begin{matrix} \begin{cases} m  > - 2\\m > 2\\ \end{cases}\\ \begin{cases} m < - 2\\m < 2\\ \end{cases}\end{matrix}\right.$

$⇔\left[\begin{matrix} m > 2\\ m < -2\end{matrix}\right.\ \text{(TM)}$

Vậy $\left[\begin{matrix} m > 2\\ m < -2\end{matrix}\right.$ thì PT `(1)` có `3` nghiệm phân biệt