$x^{2}$ $-$ $2(m-1)x$ $-$ $3$ $-$ $m$ $=$ $0$ a) Chứng tỏ răng PT có nghiệm $x_{1}$, $x_{2}$ với mọi m b) Tìm m sao cho nghiệm $x_{1}$, $x_{2}$ của PT thỏa mãn $(x_{1})^{2}$ $+$ $(x_{2})^{2}$ $\geq$ $10$

Đáp án:

\(\begin{array}{l}
a)dpcm\\
b)\left[ \begin{array}{l}
m \ge \dfrac{3}{2}\\
m \le 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

a) Để phương trình có nghiệm

\(\begin{array}{l}
 \to {m^2} - 2m + 1 + 3 + m \ge 0\\
 \to {m^2} - m + 4 \ge 0\\
 \to {m^2} - 2m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{{15}}{4} \ge 0\\
 \to {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{4} \ge 0\left( {ld} \right)\forall m\\
 \to dpcm\\
b)Vi - et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\
{x_1}{x_2} =  - 3 - m
\end{array} \right.\\
{x_1}^2 + {x_2}^2 \ge 10\\
 \to {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} \ge 10\\
 \to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \ge 10\\
 \to {\left( {2m - 2} \right)^2} - 2\left( { - 3 - m} \right) \ge 10\\
 \to 4{m^2} - 8m + 4 + 6 + 2m \ge 10\\
 \to 4{m^2} - 6m + 10 \ge 10\\
 \to 2m\left( {2m - 3} \right) \ge 0\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
m \ge \dfrac{3}{2}\\
m \le 0
\end{array} \right.
\end{array}\)