Với `x>0` tìm GTNN của biểu thức `M=4x^2-3x+1/(4x) +2014`

Tham khảo:

`M = 4x^2-3x+1/(4x) +2014`

`M = ( 2x - 1)^2 + ( x + 1/(4x) ) + 2013`

Áp dụng BĐT Cô - si:

`x+\frac{1}{4x}\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}=1`

Dấu `"="` xảy ra khi `4x^2 = 1`

`=> x = 1/2`

`( 2x - 1)^2 ≥ 0` với tất cả `x`

Dấu `"="` xảy ra khi `x = 1/2`

`=> M ≥ 0 + 1 + 2013 = 2014`

`=> M_(min) = 2014` và khi `x = 1/2`

Vậy 

`#Sad`

$M=(4x^2-4x+1)+x+\dfrac{1}{4x}+2013$

$M=(2x-1)^2+(x+\dfrac{1}{4x})+2013$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$M\ge 0+2\sqrt{\dfrac{x}{4x}}+2014=0+2.\dfrac{1}{2}+2013=2014$ 

Vậy $M_{min}=2014$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$\begin{cases} x=\dfrac{1}{4x}\\ 2x-1=0 \end{cases}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$