Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y =$x^{3}$ $-$ ($m^{2}$ - m -2 )$x^{2}$ + ($m^{2016}$ -2017)x + 2018 có 2 điểm cực trị cách đều trục tung ?

Đáp án:

$m = -1$

Giải thích các bước giải:

$y = x^3 - (m^2 - m - 2)x^2 + (m^{2016} - 2017)x + 2018$

$y' = 3x^2 - 2(m^2 - m - 2)x + m^{2016} - 2017$

Hàm số có 2 cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'}' >0$

$\Leftrightarrow (m^2 - m - 2)^2 - 3(m^{2016} - 2017) > 0\qquad (*)$

Hai cực trị $x_1; x_2$ là nghiệm của $y' = 0$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac{2}{3}(m^2 - m - 2)\\x_1x_2 = \dfrac{m^{2016} - 2017}{3}\end{cases}$

Hai điểm cực trị cách đều trục tung $\Leftrightarrow x_1 + x_2 = 0$

$\Leftrightarrow m^2 - m - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = -1\quad \text{(thỏa $(*)$)}\\m = 2\quad \text{(không thỏa $(*)$)}\end{array}\right.$

Vậy $m = -1$