vẽ đồ thị hàm số y= (2x-1)/(x-1)

TXĐ: $D = R \backslash \left\{1\right\}$

$y' = \dfrac{2(x-1) - (2x-1)}{(x -1)^{2}} = \dfrac{-1}{(x - 1)^{2}}\\y' < 0, \forall x \in (-\infty;1)∪(1;+\infty)$

Khoảng nghịch biến: $(-\infty;1); \,(1;+\infty)$

Hàm số không có cực trị

$\star$ Giới hạn và tiệm cận:

$\lim_{x \to +\infty} y=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x-1}{x-1}=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}=2$

$\lim_{x \to -\infty} y=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{3-2x}{x-1}=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}=2$

$\lim_{x \to \infty} y=2$ 

Vậy hàm số có tiệm cận ngang $y = 2$

$\lim_{x \to 1^-} y= -\infty; \,\lim_{x \to 1^+} y=+\infty$

Vậy hàm số có tiệm cận đúng $x = 1$

Bảng biến thiên:

$\begin{array}{|l|cr}
x & -\infty & &    & 1 & &    & +\infty\\
\hline
y' &0 & - && || &  &  - &0\\
\hline
 &2&&&||&+\infty&&&\\y  &&\searrow& &||&  &\searrow\\& & & -\infty  & ||&&&2
\end{array}$

Giao với $Ox$ tại $(\dfrac{1}{2};0)$

Giao với $Oy$ tại $(0;1)$

<Đồ thị: Hình dưới>

Đồ thị nhận $(1;2)$ làm tâm đối xứng

Giải thích các bước giải:

Ta có : 

$\lim_{x\to1}\dfrac{2x-1}{x-1} =+\infty \to x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$\lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x-1}{x-1}=\lim_{x\to -\infty}\dfrac{2-\dfrac1x}{1-\dfrac1x}=2$

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x-1}{x-1}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2-\dfrac1x}{1-\dfrac1x}=2$

$\to y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Lại có:

$y'=-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}<0$

$\to $Hàm số nghịch biến

Vẽ đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$