tứ diện đều ABCD có d(AC,BD) là a√2 .tính thể tích ABCD? Các bạn trình bày giải hộ mình,mình bí lắm rồi ,ko hiểu cách tìm ra cạnh của tứ diện lun.Ai chỉ mình dễ hiểu giúp .

Đáp án:

$V_{A.BCD} =\dfrac{2a^3\sqrt2}{3}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M;\, N$ lần lượt là trung điểm $AC;\, BD$

Do $A.BCD$ là tứ diện đều

nên $∆BCD;\, ∆ABD$ đều

$\to CN\perp BD;\, AN\perp BD$

$\to BD\perp (ACN)$

$\to BD\perp MN\quad (1)$

Mặt khác:

$∆BCD;\, ∆ABD$ đều

$\to AN = CN$

$\to ∆ACN$ cân tại $N$

$\to NM\perp AC\quad (2)$

$(1)(2)\to MN$ là đoạn vuông góc chung giữa $AC$ và $BD$

hay $MN = d(AC;BD)=a\sqrt2$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$AN^2 = MN^2 + AM^2$

$\to \left(\dfrac{AB\sqrt3}{2}\right)^2 = MN^2 +\dfrac{AC^2}{4}$

$\to \dfrac{3AB^2}{4} -\dfrac{AB^2}{4}= MN^2$

$\to \dfrac{AB^2}{2}=MN^2$

$\to AB^2 = 2MN^2 = 4a^2$

$\to AB = 2a$

$\to V_{A.BCD} =\dfrac{(2a)^3\sqrt2}{12}=\dfrac{2a^3\sqrt2}{3}$