Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AM và AN đến đường tròn (M và N là tiếp điểm). Đường thẳng MO cắt đường tròn tại điểm P. Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt AN tại C và cắt AM tại B. 1) Chứng minh bốn điểm A, M, O, N cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh MB= CN . 3) Chứng minh CP là tiếp tuyến tại P với đường tròn.

$\text{1) Có: AM là tiếp tuyến của (O) (gt) nên:}$

$\text{⇒ AM⊥MO tại M}$

$\text{⇒ $\widehat{AMO}$ = $90^o$}$

$\text{Có: AN là tiếp tuyến của (O) (gt) nên:}$

$\text{⇒ AN⊥NO tại N}$

$\text{⇒ $\widehat{ANO}$ = $90^o$}$

$\text{Xét ΔAMO, có: $\widehat{AMO}$ = $90^o$ (cmt)}$

$\text{⇒ Điểm M ∈ Đường tròn đường kính OA (Định lý sự xác định đường tròn) (1)}$

$\text{Xét ΔANO, có: $\widehat{ANO}$ = $90^o$ (cmt)}$

$\text{⇒ Điểm N ∈ Đường tròn đường kính OA (Định lý sự xác định đường tròn) (2)}$

$\text{Từ (1)(2) ⇒ 4 điểm A, M, O, N ∈ Đường tròn đường kính OA}$

$\text{2) Xét (O), có: AM và AN là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A (gt) nên:}$

$\text{⇒ AM = AN (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)}$

$\text{AO là tia phân giác của $\widehat{MAN}$ hay $\widehat{BAC}$ (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)}$

$\text{OA là tia phân giác của $\widehat{MON}$ (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)}$

$\text{Xét ΔABC, có:}$

$\text{AO là đường cao (OA⊥BC tại O)}$

$\text{AO là đường phân giác (AO là tia phân giác của $\widehat{BAC}$}$

$\text{⇒ ΔABC cân tại A }$

$\text{⇒ AB = AC (Tính chất Δ cân)}$

$\text{Có: AM + MB = AB (Tính chất cộng đoạn thẳng)}$

$\text{AN + NC = AC (Tính chất cộng đoạn thẳng)}$

$\text{Mà AM = AN; AB = AC (cmt)}$

$\text{⇒ MB = CN}$

$\text{3) Có AM⊥MO tại M (cm1) hay BM⊥MO tại M ⇒ $\widehat{BMO}$ = $90^o$}$

$\text{AN⊥NO tại N (cm1) hay CN⊥NO tại N ⇒ $\widehat{CNO}$ = $90^o$}$

$\text{Xét ΔBMO và ΔCNO, có:}$

$\text{BM = CN (cm2)}$

$\text{$\widehat{BMO}$ = $\widehat{CNO}$ = $90^o$ (cmt)}$

$\text{OM = ON (M, N ∈ (O))}$

$\text{⇒ ΔBMO = ΔCNO (c.g.c)}$

$\text{⇒ $\widehat{BOM}$ = $\widehat{CON}$ (Cặp góc tương ứng)}$

$\text{Mà $\widehat{BOM}$ = $\widehat{POC}$ (2 góc đối đỉnh)}$

$\text{⇒ $\widehat{CON}$ = $\widehat{POC}$}$

$\text{Xét ΔPOC và ΔNOC, có:}$

$\text{OP = ON (P, N ∈ (O))}$

$\text{$\widehat{POC}$ = $\widehat{NOC}$ (cmt)}$

$\text{Cạnh OC chung}$

$\text{⇒ ΔPOC = ΔNOC (c.g.c)}$

$\text{⇒ $\widehat{OPC}$ = $\widehat{ONC}$ = $90^o$ (Cặp góc tương ứng)}$

$\text{⇒ OP⊥PC tại P}$

$\text{Xét (O), có:}$

$\text{OP⊥PC tại P (cmt)}$

$\text{P ∈ (O)}$

$\text{⇒ CP là tiếp tuyến của (O) (dhnb)}$

$\textit{Ha1zzz}$