Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tia tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O), qua điểm D thuộc cung nhỏ EF kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AE và AF thứ tự tại B và C 1) Chứng minh: BE + CF = BC 2) Gọi I là giao điểm của BO và DK, K là giao điểm của CO và DF. Chứng minh: IK // với EF 3) Chứng minh: góc OBC = góc OKI

1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$\begin{cases}BE=BD\\CF=CD\end{cases}$

$\Rightarrow BE+CF=BD+CD$

$\Rightarrow BE+CF=BC$

2)

Ta có:

$\begin{cases}BE=BD\\OE=OD\end{cases}$

$\Rightarrow OB$ là đường trung trực của $DE$

Mà $OB$ giao $DE$ tại $I$

Nên $I$ là trung điểm $DE$

Tương tự: $K$ là trung điểm $DF$

$\Rightarrow IK$ là đường trung bình của $\Delta DEF$

$\Rightarrow IK//EF$

3)

Ta có $\Delta ODB$ vuông tại $D$ với đường cao $DI$

$\Rightarrow O{{D}^{2}}=OI.OB$ (hệ thức lượng)

Ta có $\Delta ODC$ vuông tại $D$ với đường cao $DK$

$\Rightarrow O{{D}^{2}}=OK.OC$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow OI.OB=OK.OC$

$\Rightarrow \dfrac{OB}{OK}=\dfrac{OC}{OI}$

Xét $\Delta OBC$ và $\Delta OKI$, ta có:

$\widehat{BOC}$ là góc chung

$\dfrac{OB}{OK}=\dfrac{OC}{OI}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta OBC\backsim\Delta OKI\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{OKI}$