Trong mặt phẳng Oxy cho phép vị tự V(O;-2) biến đường tròn (C): x^2+y^2-6x+4y-3=0 thành đường tròn(C'). Tâm I' và bán kính R' của (C') là bao nhiêu ?

$(C): x^2+y^2-6x+4y-3=0$ Tâm $I(3;-2)$, bán kính $R=4$ $V_{O;-2}I=I'(a;b)$ $\vec{OI'}=-2\vec{OI}$ $\vec{OI}=(3;-2)$; $\vec{OI'}=(a;b)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=-2.3=-6 \\b=-2.(-2)=4\end{array} \right .$ $\Rightarrow I'(-6;4)$ $R'=2R=8$ $(C'): (x+6)^2+(y-4)^2=8^2$

Đáp án + Giải thích các bước giải:

  Từ đường tròn $(C)$ ta có: $\begin{cases} a=\dfrac{-6}{-2}=3\\b=\dfrac{4}{-2}=-2\\c=-3 \end{cases}$

⇒ $\begin{cases} \text{Tâm I(3;-2)}\\R=\sqrt{3^2+(-2)^2+3}=4\\ \end{cases}$

$(C')$ là ảnh của $(C)$ qua phép vị tự $V(O;-2)$, tâm vị tự có tọa độ là $O(0;0)$

⇒ $\overrightarrow{I'O}=2\overrightarrow{IO}$ $(1)$

+) $\overrightarrow{I'O}=(-x';y')$ $(2)$

+) $2\overrightarrow{IO}=(-6;4)$ $(3)$

Từ $(1)$ $(2)$ $(3)$ ⇒ $\begin{cases} x'=-6\\y'=4 \end{cases}$

Đường tròn $(C')$ có: $\begin{cases} I'(-6;4)\\R'=R.|k|=4.|-2|=8 \end{cases}$