Trong mặt phẳng Oxy,cho đường thẳng (m - 3)x + (m - 4)y = 1 (d) tìm tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) lớn nhất.

Đáp án:

 x

Giải thích các bước giải:

Với m=3⇒x=−1⇒m=3⇒x=−1⇒khoảng cách từ O đến d bằng 1

Với m≠3m≠3

(m−4)x+(m−3)y−1=0(m−4)x+(m−3)y−1=0

⇔m(x+y)−(4x+3y+1)=0⇔m(x+y)−(4x+3y+1)=0

⇒d⇒d luôn đi qua điểm cố định A(−1;1)A(−1;1)

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống d thì OA là đường xiên

⇒OH≤OA⇒OHmax=OA=√2⇒OH≤OA⇒OHmax=OA=2 khi H≡AH≡A

Khi đó d⊥OAd⊥OA

Gọi pt OA có dạng :

y=ax+by=ax+b ⇒{0.a+b=0−a+b=1⇒{0.a+b=0−a+b=1 ⇒y=−x⇒y=−x

Phương trình d viết lại:

y=4−mm−3x+1m−3y=4−mm−3x+1m−3

Do d⊥OA⇒(4−mm−3).(−1)=−1d⊥OA⇒(4−mm−3).(−1)=−1

⇒4−mm−3=1⇒4−m=m−3⇒m=7

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`(d):(m-3)x+(m-4)y=1`

`<=>(m-3)x+(m-4)y-1=0`

`=>d(O;(d))=\frac{|(m-3).0+(m-4).0+(-1)|}{\sqrt{(m-3)^2+(m-4)^2}`

`<=>d(O;(d))=\frac{1}{\sqrt{m^2-6m+9+m^2-8m+16}}`

`<=>d(O;(d))=\frac{1}{\sqrt{2m^2-14m+25}}`

$⇔d(O;(d))=\dfrac{1}{\sqrt{(\sqrt{2}m)^2-2.\sqrt{2}.\dfrac{7\sqrt{2}}{2}+\dfrac{49}{2}+\dfrac{1}{2}}}$
$⇔d(O;(d))=\dfrac{1}{\sqrt{(\sqrt{2}m-\dfrac{7\sqrt{2}}{2})^2+\dfrac{1}{2}}}$

Ta có:

`(\sqrt{2}m-\frac{7\sqrt{2}}{2})^2≥0∀m`

`⇔(\sqrt{2}m-\frac{7\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}`

`⇔\sqrt{(\sqrt{2}m-\frac{7\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}}≥\frac{\sqrt{2}}{2}`

$⇔\dfrac{1}{\sqrt{(\sqrt{2}m-\dfrac{7\sqrt{2}}{2})^2+\dfrac{1}{2}}}≤\sqrt{2}$

Dấu `"="` xảy ra khi

`(\sqrt{2}m-\frac{7\sqrt{2}}{2})^2=0`

`<=>\sqrt{2}m-\frac{7\sqrt{2}}{2}=0`

`<=>\sqrt{2}m=\frac{7\sqrt{2}}{2}`

`<=>m=\frac{7}{2}`

Vậy `m=\frac{7}{2}` thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến `O` là lớn nhất